Περί γενικής σχετικότητας του Αινστάιν

Πρόσφατα, πέτυχα στο arXiv ένα άρθρο του Robert Wald το οποίο είναι ουσιαστικά ένα resource letter για το American Journal of Physics που ασχολείται με το θέμα της διδασκαλίας της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας σε προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές. Το ζήτημα της διδασκαλίας της σχετικότητας είναι ένα κάπως ακανθώδες θέμα και δυστυχώς υπάρχει και στο Φυσικό της Αθήνας θέμα με την διδασκαλία του συγκεκριμένου αντικειμένου, ενώ υπάρχει και πολύς "θόρυβος" από διάφορους άσχετους που παραπληροφορούν και διδάσκουν βλακείες στους φοιτητές (και όχι μόνο).

Για αυτό το λόγο, και επειδή βρήκα σε κάποια σημεία του letter πολύ χρήσιμες επισημάνσεις, αποφάσισα να το μεταφράσω στα ελληνικά. Η μετάφραση, για ευκολία, θα γίνει σε 3 μέρη, που αντιστοιχούν στις 3 ενότητες που είναι χωρισμένο και το ίδιο το letter.

1. Εισαγωγή
Η Γενική Σχετικότητα είναι η θεωρία του χώρου, του χρόνου, και της βαρύτητας που διατυπώθηκε από τον Αϊνστάιν το 1915. Γενικά θεωρείται ως μια ιδιαίτερα δυσνόητη μαθηματική θεωρία και μέχρι πρόσφατα δεν θεωρείτο ως ένα αντικείμενο που μπορεί να διδαχτεί σε προπτυχιακό επίπεδο. Στην πραγματικότητα όμως, το μαθηματικό υπόβαθρο (δηλαδή ή διαφορική γεωμετρία) που χρειάζεται κανείς για να καταλάβει τις βαθύτερες έννοιες της γενικής σχετικότητας δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο και χρειάζεται την προηγούμενη γνώση πραγμάτων που γενικά διδάσκονται σε ένα μάθημα προχωρημένης ανάλυσης και γραμμικής άλγεβρας. Παρόλα αυτά, οι περισσότεροι φοιτητές φυσικής δεν γνωρίζουν διαφορική γεωμετρία και η εφαρμογή της στη γενική σχετικότητα οδηγεί σε αντιθέσεις με την διαίσθηση που έχουν αναπτύξει από την προηγούμενη διδασκαλία που έχουν δεχτεί, με την βασική αντίθεση να είναι ότι σε αντίθεση με ότι έχουν διδαχτεί ο "χώρος" δεν έχει τις ιδιότητες και την δομή ενός διανυσματικού χώρου. Για αυτό το λόγο, η διδασκαλία του απαραίτητου μαθηματικού υποβάθρου είναι ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσει κανείς προκειμένου να διδάξει γενική σχετικότητα - ειδικά για ένα μάθημα του ενός εξαμήνου (δικό μου σχόλιο: και αυτό είναι ένα από τα προβλήματα στην διδασκαλία του μαθήματος στο τμήμα της Αθήνας). Αν κανείς προσπαθήσει να διδάξει ολοκληρωμένα το μαθηματικό υπόβαθρο, υπάρχει ο κίνδυνος το μάθημα να μετατραπεί σε ένα μάθημα διαφορικής γεωμετρίας με ελάχιστη φυσική. Από την άλλη, αν δεν διδαχτεί ολοκληρωμένα το μαθηματικό υπόβαθρο, τότε συναντά κανείς προβλήματα στο να παρουσιάσει και να εξηγήσει επαρκώς τις μεγάλες διαφορές στην θεώρηση των πραγμάτων που υπάρχουν ανάμεσα στη γενική σχετικότητα και την προ-σχετικιστική και την ειδικο-σχετικιστική αντίληψη της δομής του χωροχρόνου.
Ο στόχος αυτού του κειμένου είναι να παρουσιάσει έναν σύντομο οδηγό στα προβλήματα που μπορεί να συναντήσει κανείς στη διδασκαλία της γενικής σχετικότητας τόσο προπτυχιακά όσο και μεταπτυχιακά. Θα εστιάσουμε στο πως πρέπει να εισαχθεί το μαθηματικό υπόβαθρο που είναι απαραίτητο για την διατύπωση της γενικής σχετικότητας. Αντιθέτως, δεν θα αναφερθώ ιδιαίτερα στο πως θα πρέπει να διδάξει κανείς τα διάφορα θέματα που συνήθως περιλαμβάνονται σε ένα μάθημα γενικής σχετικότητας αφού έχει εισάγει κανείς την βασική θεωρία, δηλαδή θέματα όπως το όριο του ασθενούς πεδίου, τα διάφορα τεστ της γενικής σχετικότητας, την βαρυτική ακτινοβολία, την κοσμολογία και τις μαύρες τρύπες. Ακόμα, δεν θα παρουσιάσουμε και πάρα πολλές πηγές για την διδασκαλία του αντικειμένου.
Αρχικά θα παρουσιάσω σύντομα τις αλλαγές στην αντίληψη των εννοιών που φέρνει η γενική σχετικότητα. Μετά θα παρουσιάσω τις μαθηματικές έννοιες που χρειάζονται για την ακριβής διατύπωση της θεωρίας. Τέλος, θα παρουσιάσω μερικές στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει κανείς για την διδασκαλεία των απαραίτητων μαθηματικών σε ένα μάθημα γενικής σχετικότητας.

2. Γενική Σχετικότητα
Πριν το 1905, θεωρείτο δεδομένο ότι η αιτιακή δομή (causal structure) του χωροχρόνου ορίζει μια σαφή έννοια του ταυτόχρονου. Για ένα γεγονός (δηλαδή, για ένα σημείο στον χώρο σε μια δεδομένη στιγμή στον χρόνο), μπορούμε να ορίσουμε το μέλλον του να αποτελείται από όλα τα γεγονότα, που θα μπορούσαν θεωρητικά να είναι προσβάσιμα από ένα σωματίδιο που ξεκινά από το . Ομοίως, το παρελθόν του αποτελείτο από όλα τα γεγονότα από τα οποία κάποιο σωματίδιο θα μπορούσε θεωρητικά να φτάσει στο . Τα γεγονότα που δεν βρίσκονται ούτε στο μέλλον ούτε στο παρελθόν του , θεωρούντο ως ταυτόχρονα με το και αποτελούσαν ένα τρισδιάστατο χώρο. Η έννοια του ταυτοχρόνου που ήταν ορισμένη με αυτόν τον τρόπο, ορίζει την έννοια "όλου του χώρου για μια δεδομένη χρονική στιγμή", η οποία με την σειρά της επιτρέπει των διαχωρισμό του χωροχρόνου σε χώρο και χρόνο. Είναι σημαντικό να τονισθεί στους φοιτητές ο σημαντικός ρόλος που παίζει αυτή η αντίληψη της προ-σχετικιστικής δομής του χωροχρόνου.
Η μεγάλη επανάσταση που εισήγαγε η ειδική σχετικότητα ήταν η συνειδητοποίηση ότι η αντίληψη για την αιτιακή δομή του χωροχρόνου όπως την περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο ήταν λάθος. Παραδόξως, το σύνολο των γεγονότων που δεν συνδέονται αιτιακά με ένα γεγονός αποτελούν κάτι παραπάνω από έναν χώρο 3ων διαστάσεων. Σε ένα χωροχρονικό διάγραμμα, το μέλλον ενός γεγονότος μοιάζει με το εσωτερικό ενός κώνου με κορυφή το και την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου να αποτελείται από τις τροχιές των φωτονίων που ξεκινούν από το . Έτσι, στην ειδική σχετικότητα η αιτιακή δομή του χωροχρόνου ορίζει την έννοια του "κώνου φωτός" ενός γεγονότος, αλλά όχι την έννοια του ταυτόχρονου με το γεγονός.
Είναι σημαντικό να εστιάσουμε στην "αναλλοίωτη δομή" του χωροχρόνου, δηλαδή τις πτυχές της δομής του χωροχρόνου που είναι καλά ορισμένες, ανεξάρτητα του ποιος παρατηρητής κάνει τις μετρήσεις. Στην προ-σχετικιστική φυσική, το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο οποιονδήποτε γεγονότων είναι ένα τέτοιο αναλλοίωτο. Το χωρικό διάστημα ανάμεσα σε δύο ταυτόχρονα γεγονότα είναι επίσης ένα τέτοιο αναλλοίωτο. Στην ειδική σχετικότητα όμως, κανένα από τα δύο δεν είναι αναλλοίωτα. Στην ειδική σχετικότητα, η μόνη αναλλοίωτη ποσότητα που σχετίζεται με δύο γεγονότα , είναι το χωροχρονικό τους διάστημα, που δίνεται σε ένα οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα από την έκφραση
(1)
Όλα τα στοιχεία της δομής του χωροχρόνου στην ειδική σχετικότητα μπορούν να προκύψουν από το χωροχρονικό μήκος.
Είναι αξιοσημείωτο ότι - εκτός από το μείον μπροστά από το - το χωροχρονικό μήκος έχει την ίδια μορφή με την έκφραση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για το τετράγωνο της απόστασης ανάμεσα σε δύο σημεία στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Το γεγονός αυτό το συνειδητοποίησε πρώτος ο Minkowski to 1908, αλλά η σπουδαιότητά του δεν εκτιμήθηκε από τον Αϊνστάιν παρά μόνο μετά από μερικά χρόνια, όταν άρχισε να αναπτύσσει την γενική σχετικότητα. Αυτή η σύνδεση (του αναλλοίωτου στοιχείου μήκους με την γεωμετρία), επιτρέπει την αντίληψη της ειδικής σχετικότητας ως μιας θεωρίας του επίπεδου χώρου σε Lorentzian γεωμετρία. Στην ειδική σχετικότητα, ο χωροχρόνος περιγράφεται με τρόπο που είναι μαθηματικά ταυτόσημος με αυτόν που περιγράφει κανείς την Ευκλείδεια γεωμετρία, εκτός από τις αλλαγές που προκύπτουν από την παρουσία του αρνητικού προσήμου στην εξίσωση (1). Συγκεκριμένα, οι καθολικές αδρανειακές συντεταγμένες της ειδικής σχετικότητας είναι ευθέως ανάλογες με τις καρτεσιανές συντεταγμένες στην Ευκλείδειας γεωμετρίας, και οι κοσμικές γραμμές των αδρανειακών παρατηρητών είναι απευθείας ανάλογες με τις ευθείες γραμμές (γεωδαισιακές) της Ευκλείδειας γεωμετρίας.
Αυτή η αντίληψη της ειδικής σχετικότητας ως μιας επίπεδης Lorentzian γεωμετρίας, είναι ένα σημαντικό βήμα προς την κατεύθυνση της λογικής της γενικής σχετικότητας. Η γενική σχετικότητα προέκυψε από την προσπάθεια να διατυπωθεί μια θεωρία της βαρύτητας που να είναι συμβατή με τις ιδέες της ειδικής σχετικότητας και να στηρίζεται θεμελιωδώς στην ιδέα της "αρχής της ισοδυναμίας": όλα τα σώματα επηρεάζονται από την βαρύτητα και όλα τα σώματα πέφτουν με τον ίδιο τρόπο σε ένα βαρυτικό πεδίο. Η αρχή της ισοδυναμίας υποδεικνύει ότι η ελεύθερη πτώση σε ένα βαρυτικό πεδίο θα πρέπει να γίνει αντιληπτή ως ανάλογη της αδρανειακής κίνησης στην προ-σχετικιστική φυσική και στην ειδική σχετικότητα. Η βαρύτητα δεν είναι "δύναμη", αλλά μια αλλαγή στη δομή του χωροχρόνου που επιτρέπει στου αδρανειακούς παρατηρητές να επιταχύνονται μεταξύ τους.Είναι αξιοσημείωτο ότι, μετά από πολλά χρόνια δουλειάς, ο Αϊνστάιν ανακάλυψε ότι αυτή η αντίληψη της βαρύτητας μπορούσε να εισαχθεί αν απλά κανείς γενίκευε την επίπεδη Lorentzian γεωμετρία της ειδικής σχετικότητας σε μια καμπυλωμένη Lorentzian γεωμετρία - με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που η επίπεδη Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να γενικευθεί στην καμπυλωμένη γεωμετρία του Riemann. Η γενική σχετικότητα είναι επομένως μια θεωρία της δομής του χωροχρόνου που εξηγεί όλα τα φαινόμενα της βαρύτητας με όρους καμπυλωμένης γεωμετρίας του χωροχρόνου.
Επιπλέον της αντικατάστασης της επίπεδης γεωμετρίας του χωροχρόνου με μια καμπυλωμένη γεωμετρία του χωροχρόνου, η γενική σχετικότητα διαφέρει δραματικά από την ειδική σχετικότητα στο ότι η γεωμετρία του χωροχρόνου δεν είναι καθορισμένη εξ'αρχής, αλλά είναι δυναμική. Η δυναμική εξέλιξη της γεωμετρίας (της μετρικής) του χωροχρόνου περιγράφεται από τις εξισώσεις του Αϊνστάιν, οι οποίες εξισώνουν στοιχεία της καμπυλότητας του χωροχρόνου με τον τανυστή ενέργειας-ορμής της ύλης.